حل تمرین صفحه 34 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این مسئله یک مثال عالی از کاربرد مفهوم **تشابه مثلث‌ها** در اندازه‌گیری ارتفاع اجسام بلند (مثل درخت‌ها و ساختمان‌ها) است که ریشه‌های تاریخی در هندسه دارد. ### **تحلیل مسئله: اصل تشابه** در یک لحظه‌ی مشخص از روز، زاویه‌ی تابش خورشید برای تمام اجسام روی زمین **یکسان** است. این بدان معناست که مثلث قائم‌الزاویه‌ای که از قد علی و سایه‌اش تشکیل می‌شود، با مثلث قائم‌الزاویه‌ای که از ارتفاع درخت و سایه‌اش تشکیل می‌شود، **متشابه‌**اند (حالت تشابه $AA'$، چون زاویه‌ی تابش و زاویه‌ی قائم برابرند). **اجزای دو مثلث قائم‌الزاویه:** 1. **مثلث علی:** * **ارتفاع (ضلع مقابل):** قد علی = $1.5 \text{ متر}$ * **قاعده (ضلع مجاور):** طول سایه‌ی علی = $0.5 \text{ متر}$ 2. **مثلث درخت:** * **ارتفاع (ضلع مقابل):** ارتفاع درخت ($h$) = ? * **قاعده (ضلع مجاور):** طول سایه‌ی درخت = $3 \text{ متر}$ ### **نوشتن نسبت تشابه (تانژانت)** از آنجایی که زاویه‌ی تابش (زاویه $\theta$) برای هر دو مثلث برابر است، نسبت **ضلع مقابل به ضلع مجاور** (همان تانژانت) باید ثابت باشد: $$\tan \theta = \frac{\text{ارتفاع علی}}{\text{سایه‌ی علی}} = \frac{\text{ارتفاع درخت}}{\text{سایه‌ی درخت}}$$ **گام ۱: جایگذاری مقادیر در تناسب** $$\frac{1.5}{0.5} = \frac{h}{3}$$ **گام ۲: ساده‌سازی و حل معادله** $$\frac{1.5}{0.5} = 3$$ پس داریم: $$3 = \frac{h}{3}$$ برای پیدا کردن $h$، طرفین را در $3$ ضرب می‌کنیم: $$h = 3 \times 3 = 9$$ **پاسخ نهایی:** ارتفاع درخت $\mathbf{9 \text{ متر}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۲ این مسئله از دو مفهوم مهم استفاده می‌کند: **تقسیم چندضلعی منتظم به مثلث‌های متساوی‌الساقین** و **فرمول مساحت مثلث با سینوس** یا **نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص**. ### **گام ۱: تقسیم‌بندی و مشخصات مثلث‌ها** 1. **تقسیم‌بندی:** یک شش ضلعی منتظم از **6 مثلث متساوی‌الاضلاع** تشکیل شده است که رأس مشترک آن‌ها مرکز شش ضلعی است. (زیرا زاویه‌ی مرکزی برابر است با $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. از آنجایی که مثلث متساوی‌الساقین است و یک زاویه‌ی $60^\circ$ دارد، باید متساوی‌الاضلاع باشد). 2. **ابعاد مثلث:** هر یک از این 6 مثلث متساوی‌الاضلاع، دارای طول ضلع $3 \text{ cm}$ است. ### **گام ۲: محاسبه مساحت یک مثلث** برای محاسبه مساحت یک مثلث متساوی‌الاضلاع (مثلثی که در شکل مشخص شده است) از دو روش می‌توان استفاده کرد: #### **روش اول: استفاده از فرمول مساحت با سینوس** در مثلث با ضلع $a=3$ و زاویه‌ی $60^\circ$ بین دو ضلع: $$\text{مساحت } \triangle = \frac{1}{2} a \cdot a \sin 60^\circ$$ $$\text{مساحت } \triangle = \frac{1}{2} (3)(3) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\text{چون } \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$\text{مساحت } \triangle = \frac{9}{4}\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ #### **روش دوم: استفاده از ارتفاع (آپوتم)** ارتفاع وارد بر قاعده در مثلث متساوی‌الاضلاع ($h$) را آپوتم شش ضلعی می‌نامند. این ارتفاع، مثلث قائم‌الزاویه‌ی $30-60-90$ ایجاد می‌کند: * زاویه‌ی رأس: $60^\circ$ * زاویه‌ی قائده: $90^\circ$ * زاویه‌ی دیگر: $30^\circ$ * وتر: $3 \text{ cm}$ * ضلع مقابل $30^\circ$: $\frac{3}{2} = 1.5 \text{ cm}$ * ارتفاع ($h$ - ضلع مقابل $60^\circ$): $h = \frac{3}{2} \sqrt{3} \text{ cm}$ $$\text{مساحت } \triangle = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times 3 \times \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$$ $$\text{مساحت } \triangle = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$$ ### **گام ۳: محاسبه مساحت شش ضلعی** مساحت کل شش ضلعی برابر است با 6 برابر مساحت یک مثلث: $$\text{مساحت شش ضلعی} = 6 \times \text{مساحت } \triangle$$ $$\text{مساحت شش ضلعی} = 6 \times \left( \frac{9\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{54\sqrt{3}}{4}$$ $$\text{مساحت شش ضلعی} = \mathbf{\frac{27\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۳ این یک مسئله‌ی کاربردی در مورد **زاویه‌ی فرود** (زاویه‌ی پایین‌تر از افق) است که با استفاده از نسبت **تانژانت** قابل حل است. ### **تحلیل مسئله** با توجه به شکل، مثلثی قائم‌الزاویه داریم که: * **ضلع مقابل** به زاویه‌ی $13^\circ$: ارتفاع هواپیما = $2 \text{ km}$ * **ضلع مجاور** به زاویه‌ی $13^\circ$: فاصله‌ی افقی از $A$ تا محل فرود ($x$) = ? * **زاویه:** زاویه‌ی فرود $\theta = 13^\circ$ ### **استفاده از تانژانت** نسبت تانژانت، ضلع مقابل را به ضلع مجاور مرتبط می‌کند: $$\tan 13^\circ = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{\text{ارتفاع}}{\text{فاصله‌ی افقی}}$$ **گام ۱: جایگذاری مقادیر** $$\tan 13^\circ = \frac{2 \text{ km}}{x}$$ **گام ۲: استفاده از مقدار تقریبی تانژانت** مقدار داده شده: $\tan 13^\circ \approx 0.23$ $$0.23 = \frac{2}{x}$$ **گام ۳: حل برای $x$** با جابه‌جایی $x$ و $0.23$، داریم: $$x = \frac{2}{0.23}$$ $$x \approx 8.6956$$ **پاسخ نهایی:** هواپیما تقریباً در فاصله‌ی $\mathbf{8.7 \text{ کیلومتری}}$ از نقطه‌ی $A$ فرود می‌آید.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۴ این مسئله یک کاربرد مستقیم از **فرمول مساحت مثلث با سینوس** است که قبلاً در فعالیت‌ها آن را اثبات کردیم. این فرمول زمانی استفاده می‌شود که **طول دو ضلع و زاویه‌ی بین آن‌ها** معلوم باشد. ### **فرمول مساحت با سینوس** فرمول عمومی مساحت مثلث $ABC$ بر اساس ضلع $AB$، ضلع $BC$ و زاویه‌ی $\hat{B}$ به صورت زیر است: $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times \text{ضلع اول} \times \text{ضلع دوم} \times \sin (\text{زاویه‌ی بین})$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B$$ ### **گام ۱: جایگذاری مقادیر** مقادیر معلوم در مسئله عبارتند از: * $AB = 3 \text{ cm}$ * $BC = 5 \text{ cm}$ * $\hat{B} = 75^\circ$ * $\sin 75^\circ \approx 0.96$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin 75^\circ$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 15 \times 0.96$$ **گام ۲: محاسبه نهایی** $$\text{مساحت } \triangle ABC = 7.5 \times 0.96$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \mathbf{7.2 \text{ cm}^2}$$ **پاسخ نهایی:** مساحت مثلث $ABC$ برابر $\mathbf{7.2 \text{ سانتی‌متر مربع}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۵ این مسئله مربوط به یک **مثلث متساوی‌الساقین** است که باید با پیدا کردن زاویه‌ی بین دو ضلع برابر و استفاده از **فرمول مساحت با سینوس**، حل شود. ### **گام ۱: پیدا کردن زاویه‌ی $B$** مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الساقین است زیرا دو زاویه‌ی قاعده‌ی آن برابرند ($\hat{A} = \hat{C} = 30^\circ$). ضلع‌های $AB$ و $BC$ که روبروی زوایای برابر هستند نیز برابرند (طبق شکل $AB=BC=3 \text{ cm}$). ما به زاویه‌ی $\hat{B}$ نیاز داریم تا از فرمول سینوس استفاده کنیم. $$\hat{B} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{C})$$ $$\hat{B} = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ$$ $$\hat{B} = \mathbf{120^\circ}$$ ### **گام ۲: استفاده از فرمول مساحت با سینوس** با داشتن دو ضلع $AB=3$ و $BC=3$ و زاویه‌ی بین آن‌ها $\hat{B} = 120^\circ$، از فرمول مساحت استفاده می‌کنیم: $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin 120^\circ$$ **نکته مهم:** مقدار $\sin 120^\circ$ را می‌توان با استفاده از رابطه‌ی $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ محاسبه کرد: $$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$$ $$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ### **گام ۳: محاسبه نهایی** $$\text{مساحت } \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{مساحت } \triangle ABC = \mathbf{\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2}$$ **پاسخ نهایی:** مساحت مثلث $ABC$ برابر $\mathbf{\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ سانتی‌متر مربع}}$ است.